☛ Tirages simultanés

Énoncé

1. On considère l'ensemble \(\Omega=\{a;b;c;d\}\). Écrire tous les sous-ensembles de deux éléments de `\Omega`.

2. Une urne contient \(1\) boule rouge et \(3\) boules noires. Elles sont indiscernables au toucher.
On tire simultanément \(2\) boules de l'urne. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
    a. "Obtenir \(2\) boules rouges."
    b. "Obtenir \(2\) boules noires."
    c. "Obtenir \(2\) boules de couleurs différentes."

Solution

1. La différence entre un ensemble à deux éléments et un couple est que, dans le premier, il n'y a pas de notion d'ordre alors que, dans le second, la notion d'ordre est présente.
Les sous ensembles de \(\Omega\) à \(2\) éléments contenant \(a\) sont : \(\{a;b\}\;;\{a;c\}\;;\{a;d\}\;\).
Les sous ensembles de \(\Omega\) à \(2\) éléments ne contenant pas \(a\) sont : \(\{b;c\}\;;\{b;d\}\;;\{c;d\}\).
On dénombre donc \(6\) sous-ensembles à \(2\) éléments.

2. a. C'est un tirage simultané dans une urne dans laquelle il n'y a qu'une seule boule rouge donc on ne peut pas en tirer deux de manière simultanée. C'est donc un événement impossible et sa probabilité est égale à \(0\).

    b. On dispose d'une urne contenant \(4\) boules : \(1\) rouge et \(3\) noires. On tire de manière simultanée deux boules de cette urne, ce qui correspond à "prendre" un ensemble à deux éléments dans un ensemble à quatre éléments. On va convenir que \(a\) représente la boule rouge et les autres lettres, les boules noires.
Donc, tirer simultanément deux boules noires revient à dénombrer les sous-ensembles à deux éléments ne contenant pas \(a\). Il y en a \(3\).
Donc la probabilité demandée est égale à \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).

    c. Tirer simultanément deux boules de couleurs différentes revient à "prendre" des sous-ensembles à deux éléments dans lesquels il y a la lettre \(a\). Il y en a \(3\).
Donc la probabilité demandée est égale à \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).